Формула эйнштейна e = mc2 и материализация

Lightweight, High-Power Touring Amplifiers

The switch mode power supply is capable of delivering high peaks without any perceptible bass ‘sag’ at very low distortion and is kept within its safe operating area by the new, sophisticated MC² Audio ‘intelligent’ limiter. The E15, E25, E45 and E4-75 feature MC² Audio’s proprietary current driven output stages for ultra-high definition sound, delivered over the entire audio bandwidth.

All MC² Audio products are covered by a 5 year warranty.

Specifications

Number of channels	2
Output Power: (per channel)*
8 ohms	450W
4 ohms	850W
2 ohms	1550W
Output Power: (bridged)
8 ohms	1700W
4 ohms	3100W
THD%: (@1dB below max output)
@ 1kHz	< 0.008%
20Hz to 20kHz	< 0.03%
Gain / Sensitivity:
Gain	26/31/32dB
Sensitivity (for max power)	+11/6/5dBu (2.7/1.5/1.4V)

Frequency Response:	20Hz to 20kHz (+/- 0.3dB)
Power Consumption:
Nominal @ 240v into 4 ohms	2.1A
Nominal @ 120v into 4 ohms	4.2A
Dimensions: (2U) (mm)
Amplifier	88(h) x 482(w) x 428(d)
Single Box (UK shipping)	230 x 580 x 560
Double Box (outside UK)	250 x 610 x 600
Weight:
Amplifier	9.8kg
Boxed (shipping weight)	11.6kg

*for 100V line drive specifications, please read this document

Front Panel (Click to enlarge)

Rear Panel (Click to enlarge)

Specifications

Number of channels	2
Output Power: (per channel)*
8 ohms	700W
4 ohms	1350W
2 ohms	2400W
Output Power: (bridged)
8 ohms	2700W
4 ohms	4800W
THD%: (@1dB below max output)
@ 1kHz	< 0.008%
20Hz to 20kHz	< 0.03%
Gain / Sensitivity:
Gain	26/32/33dB
Sensitivity (for max power)	+13/7/6dBu (3.5/1.7/1.5V)

Frequency Response:	20Hz to 20kHz (+/- 0.3dB)
Power Consumption:
Nominal @ 240v into 4 ohms	3.0A
Nominal @ 120v into 4 ohms	6.0A
Dimensions: (2U) (mm)
Amplifier	88(h) x 482(w) x 428(d)
Single Box (UK shipping)	230 x 580 x 560
Double Box (outside UK)	250 x 610 x 600
Weight:
Amplifier	10.2kg
Boxed (shipping weight)	11.9kg

*for 100V line drive specifications, please read this document

Front Panel (Click to enlarge)

Rear Panel (Click to enlarge)

Specifications

Number of channels	2
Output Power: (per channel)*
8 ohms	1250W
4 ohms	2500W
2 ohms	4200W
Output Power: (bridged)
8 ohms	5000W
4 ohms	8400W
THD%: (@1dB below max output)
@ 1kHz	< 0.015%
20Hz to 20kHz	< 0.05%
Gain / Sensitivity:
Gain	26/32/36dB
Sensitivity (for max power)	+15.7/9.7/5.7dBu (4.7/2.4/1.5V)

Frequency Response:	20Hz to 20kHz (+/- 0.3dB)
Power Consumption:
Nominal @ 240v into 4 ohms	4.5A
Nominal @ 120v into 4 ohms	9.0A
Dimensions: (2U) (mm)
Amplifier	88(h) x 482(w) x 428(d)
Single Box (UK shipping)	230 x 580 x 560
Double Box (outside UK)	250 x 610 x 600
Weight:
Amplifier	11.4kg
Boxed (shipping weight)	13.4kg

*for 100V line drive specifications, please read this document

Front Panel (Click to enlarge)

Rear Panel (Click to enlarge)

Specifications

Number of channels	4
Output Power: (per channel)*
8 ohms	775W
4 ohms	900W
2 ohms	N/A
Output Power: (bridged)
8 ohms	1800W
4 ohms	N/A
THD%: (@1dB below max output)
@ 1kHz	< 0.008%
20Hz to 20kHz	< 0.03%
Gain / Sensitivity:
Gain	26/31/32dB
Sensitivity (for max power)	+11/6/5dBu (2.7/1.5/1.4V)

Frequency Response:	20Hz to 20kHz (+/- 0.3dB)
Power Consumption:
Nominal @ 240v into 4 ohms	2.7A
Nominal @ 120v into 4 ohms	5.4A
Dimensions: (2U) (mm)
Amplifier	88(h) x 482(w) x 428(d)
Single Box (UK shipping)	230 x 580 x 560
Double Box (outside UK)	250 x 610 x 600
Weight:
Amplifier	10.6kg
Boxed (shipping weight)	12.6kg

*for 100V line drive specifications, please read this document

Front Panel (Click to enlarge)

Rear Panel (Click to enlarge)

Specifications

The E60, E90 and E100 have been superceded by
three corresponding models in the Delta Series:

Delta 80 replaces E60,
Delta 100 replaces E100 and
Delta 120 replaces the E90.

Original datasheets and manuals for these E Series models
can be found here under discontinued products.

All application guides regarding operation and use are still available
in the Technotes section here.

Is Malta Ibiza for Dance Connoisseurs? Pt 2.

Continuing our tour around Malta has to offer, we cover four more  of the top picks using the best in amplification and processing. Blue Beach Club: Dine Dance, Repeat As…

Is Malta Ibiza for Dance Connoisseurs? Pt 1.

Editor’s note:  We know that part  1 is all about the XTA DPA and APA amps and not any Deltas, but as they share the same technology, it’s still relevant,…

EDM-USA: A round-up of America’s increased adoption of UK amps in dance music.

It seems to be happening all across the States – one festival after another, one underground event at a time.  If you want the highest performing audio that will just…

Гравитационное взаимодействие

В классической физике гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, и его величина определяется гравитационной массой тела, которая с высокой степенью точности равна по величине инертной массе, о которой шла речь выше, что позволяет говорить о просто массе тела.

В релятивистской физике гравитация подчиняется законам общей теории относительности, в основе которой лежит принцип эквивалентности, заключающийся в неотличимости явлений, происходящих локально в гравитационном поле, от аналогичных явлений в неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением, равным ускорению свободного падения в гравитационном поле. Можно показать, что данный принцип эквивалентен утверждению о равенстве инертной и гравитационной масс.

В общей теории относительности энергия играет ту же роль, что и гравитационная масса в классической теории. Действительно, величина гравитационного взаимодействия в этой теории определяется так называемым тензором энергии-импульса, являющимся обобщением понятия энергии.

В простейшем случае точечной частицы в центрально-симметричном гравитационном поле объекта, масса которого много больше массы частицы, сила, действующая на частицу, определяется выражением:

F→=−GMEc2(1+β2)r→−(r→β→)β→r3,{\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}},}

где G — гравитационная постоянная, M — масса тяжёлого объекта, E — полная энергия частицы, β=vc,{\displaystyle \beta =v/c,}v — скорость частицы, r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор, проведённый из центра тяжёлого объекта в точку нахождения частицы. Из этого выражения видна главная особенность гравитационного взаимодействия в релятивистском случае по сравнению с классической физикой: оно зависит не только от массы частицы, но и от величины и направления её скорости. Последнее обстоятельство, в частности, не позволяет ввести однозначным образом некую эффективную гравитационную релятивистскую массу, сводившую бы закон тяготения к классическому виду.

Ядерная энергия

Экспериментальные подтверждения закона взаимосвязи массы и энергии дают ядерные реакции. Характерным следствием их является дефект массы, то есть возникновение разницы между суммарной массой частиц до и после реакции. Уменьшение массы покоя в ядерной реакции означает, что часть ее превратилась в кинетическую массу, а соответствующая часть внутренней энергии начальных ядер – в кинетическую энергию новых ядер.

Формула E=mc2E=mc^2E=mc2 указывает на огромные запасы ядерной энергии.

Заметим, что иногда из закона взаимосвязи массы и энергии делают ошибочный вывод о возможности преобразования массы в энергию. Так может думать только тот, кто не понимает различия между массой покоя, которой оперирует классическая физика, и массой в теории относительности. На самом деле в любой ядерной реакции полная масса обломков ядра равна полной массе начального ядра. Также полная энергия обломков равна полной энергии начального ядра. Как уже отмечалось, в ядерной реакции происходят только превращения части массы покоя начальных ядер в кинетическую массу их обломков и соответствующее преобразование внутренней энергии начальных ядер в кинетическую энергию осколков.

Инвариантность и симметрия

Между инвариантностью и симметрией существует связь, характеризующаяся неизменностью свойств и структур объекта вне зависимости от происходящих преобразований. Рассмотрим более подробно эти понятия.

Примером в данном случае служит строение кристаллов. Один образец может быть объединен сам с собой за счет ряда таких трансформаций, как: отражение, повороты, параллельные переносы и т.д. благодаря своей конструкции, форме и характерным чертам.

Понятие орнамента, по сути, является праотцом идеи симметрии, на которой зиждется множество других фундаментальных законов.

Однотипность пространства представляет собой состояние системы тел (замкнутой), которое остается неизменным при синхронном переносе и при этом отсутствует зависимость от выбора начальной точки координат перемещения.

Из идеи симметрии формируется закон сохранения (неизменности) импульса, являющийся одним из китов, на котором стоит закон природы. Закон сохранения импульса применим как к замкнутым, так и к незамкнутым системам, однако во втором случае необходимо выполнение определенного условия: при сложении всех внешних сил суммарное значение должно приравниваться к нулю.

Влияние числового выражения времени

Однотипность времени характеризуется неизменностью физических законов в отношении начала отсчета времени. Рассмотрим свободное падение тела. В данном случае наблюдается зависимость пройденного пути и скорости от начальной скорости и времени свободного падения объекта, а вот время начала падения не играет никакой роли.

То, что из одной идеи вытекает другая — нередкий феномен в науке. Так и однотипность времени напрямую объединена с законом сбережения механической энергии. Смысл ее состоит в том, что, невзирая на изменение времени, механическая энергия сохраняет свои первоначальные свойства в системе объектов, объединенных консервативными силами. Консервативные силы — это определенные факторы, воздействие которых наблюдается в потенциальных полях. Они напрямую зависят от базисной и финальной точек смещения. Путь перемещения при этом не учитывается.

Понятие релятивистской массы

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта:

mrel=Ec2,{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}

где mrel{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }} — релятивистская масса, E{\displaystyle E} — полная энергия объекта.

Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:

mrel=m1−v2c2,{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

где m{\displaystyle m} — инвариантная («классическая») масса, v{\displaystyle v} — скорость тела.

Соответственно,

E=mrelc2=mc21−v2c2.{\displaystyle E=m_{\mathrm {rel} }{c^{2}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса).

Эквивалентность релятивистской массы и энергии означает, что во всех системах отсчёта энергия физического объекта (с точностью до множителя c2{\displaystyle c^{2}}) равна его релятивистской массе.

Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела:

p→=mrelv→.{\displaystyle {\vec {p}}=m_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}

Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения.

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы массивной частицы (тела). Пусть сила, действующая на тело, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы F→{\displaystyle {\vec {F}}} и ускорения a→=dv→dt{\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt} существенно изменяется по сравнению с классической механикой:

F→=dp→dt=ma→1−v2c2+mv→⋅(v→a→)c2(1−v2c2)32.{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}

Если скорость перпендикулярна силе, то F→=mγa→,{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}
а если параллельна, то F→=mγ3a→,{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},} где γ=11−v2c2{\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} — релятивистский фактор. Поэтому mγ=mrel{\displaystyle m\gamma =m_{\mathrm {rel} }} называют поперечной массой, а mγ3{\displaystyle m\gamma ^{3}} — продольной.

Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальности приобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая инвариантную массу (покоя). В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса»:

• неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;
• синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;
• наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде

mreldv→dt=F→;{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}

• методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;
• путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть — другое.

Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной, и в научной литературе. В научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.

Вольт-амперная характеристика

Зависимость тока от напряжения, пожалуй, самая важная характеристика для любого радиоэлемента. Не исключение и устройства, работающие на фотоэффекте. На графике изображается изменение тока насыщения от запирающего напряжения. То есть, глядя на него, можно легко проследить, как будет расти напряжение при увеличении фототока.

Увеличение тока, возникшего при воздействии света, связано с числом достигших анода электронов. Зависимость на этом участке обычно плавная, без резких скачков. В определённый момент наступает такое состояние, что ток становится постоянным, несмотря на увеличение напряжения. Точка перехода характеристики в пологое состояние называется фототоком насыщения.

Значение этой точки определяется таким напряжением, при котором все электроны, выбитые со своих мест, достигают анода. Это условие записывается в виде выражения: Iнас = e*n, где за n принято число частиц, выбитых из катода за единицу времени (одну секунду).

Изучая характеристику, можно отметить, что если напряжение начинает падать и в какой-то момент становится равным нулю, то фототок всё равно не исчезает. Значит, вылетевшие электроны имеют начальную скорость и могут достигнуть второго электрода даже без внешнего воздействия. В то же время, если приложить обратное напряжение (задерживающее), фототок не появится. Поэтому электрон, получивший даже наибольшую скорость, не сможет достигнуть анода.

Используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, можно будет записать уравнение:

m*v2/2 = e*U0, где: U0 — задерживающее напряжение. Исходя из этого можно сформулировать второй закон: на задерживающее напряжение не влияет величина освещения, но потенциал зависит от частоты светового потока, при увеличении которого он возрастает.

Полезность этого открытия будет заключаться в том, что, зная задерживающее напряжение, можно определить максимальную скорость кинетической энергии выбитых электронов. То есть в квантовой теории фотоэффекта просматривается ряд зависимостей:

• фототок определяется интенсивностью;
• запирающее напряжение зависит от кинетической энергии испускаемых частиц;
• величина энергии связана с частотой света.

Специальная теория относительности

Движение существует только в контексте двух наблюдателей, сравнивающих свои системы, оно всегда взаимно, и нет смысла определять системы в состоянии покоя. Следовательно, все правильные физические теории не должны зависеть от скорости и положения, а также от времени. Если бы было иначе, можно было бы различать подвижные и стационарные системы.

Как примириться с этой постоянной скоростью света? Ведь это означает, что если бы космический «маяк» послал световой сигнал, а мы попали в ракету, летящую со скоростью, близкой к скорости света, и погнались бы за этим сигналом, она так же быстро удалялась бы от нас и маяка. Это парадоксально, но не детское воображение.

Альберт Эйнштейн. Фото: polzam.ru

Если это так, то либо расстояние между нами и лучом увеличивается, либо время для нас замедляется. Степень растяжения пространства или замедления времени пропорциональна относительной скорости. В случае погони за светом пространство будет бесконечно растягиваться, а время остановится.

Мы доходим до точки, когда нашего воображения нам может не хватить. Что значит, что время остановится? Будем ли мы застывать в одной позиции? Что ж, нет, мы будем жить нормально в нашей системе отсчета — но мы будем чувствовать себя богами, существующими вне времени остальной вселенной. Но поскольку движение относительное и взаимное, мы можем сказать то же самое о мире вне нас. Так что же будет за одновременность? Как вы примиряете с этим принцип причины и следствия?

Все выводы из теории относительности еще не поняты. Эйнштейн назвал два наиболее важных. Во-первых, невозможно достичь скорости света. Энергия, необходимая для увеличения скорости, увеличивается обратно пропорционально разнице между ней и скоростью света. Объект, движущийся со скоростью света, будет обладать бесконечной энергией. Но поскольку движение относительное, что это за энергия? Как мы помним из школы, энергия движения пропорциональна скорости и массе. Итак, Эйнштейн сказал, что оно должно быть массовым. Отсюда он вывел свое самое известное уравнение. E=mc^2 — масса — это покоящаяся форма энергии.

Второй вывод из постоянства скорости света — это необходимость интегрировать время как четвертое измерение в известное нам трехмерное пространство, уже описанное в древности Евклидом. Только созданное таким образом пространство-время, впервые определенное немецким математиком Германом Минковским, будет правильно описывать физику. Точка в пространстве-времени — это определенное место в пространстве в определенный момент времени. Отрезок пространства-времени, соединяющий две его точки, — это расстояние между двумя событиями.

Следует отметить, что оно может быть пространственным (например, Краков-Варшава), временным (например, 2010-2016), но также пространственно-временным. Каждая из этих форм означает одно и то же. Более того, оказывается, что постулат скорости света как максимальной величины приводит к тому, что пространство-время для каждого наблюдателя делится на часть, которая может быть известна, и часть, которая ему недоступна.

Практическое значение

Формула на палубе первого авианосца с ядерной силовой установкой USS Enterprise 31 июля 1964

Полученная А. Эйнштейном эквивалентность массы тела запасённой в теле энергии стала одним из главных практически важных результатов специальной теории относительности. Соотношение E=mc2{\displaystyle E_{0}=mc^{2}} показало, что в веществе заложены огромные (благодаря квадрату скорости света) запасы энергии, которые могут быть использованы в энергетике и военных технологиях.

Количественные соотношения между массой и энергией

В международной системе единиц СИ отношение энергии и массы Em{\displaystyle E/m} выражается в джоулях на килограмм, и оно численно равно квадрату значения скорости света c{\displaystyle c} в метрах в секунду:

Em=c2=(299 792 458 m/s)2{\displaystyle {\frac {E}{m}}=c^{2}=({\text{299 792 458 m/s}})^{2}} = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0⋅1016 Дж/кг).

Таким образом, 1 грамм массы эквивалентен следующим значениям энергии:

• 89,9 тераджоулей (89,9 ТДж)
• 25,0 миллионов киловатт-часов (25 ГВт·ч),
• 21,5 миллиардов килокалорий (≈21 Ткал),
• 21,5 килотонн в тротиловом эквиваленте (≈21 кт).

В ядерной физике часто применяется значение отношения энергии и массы, выраженное в мегаэлектронвольтах на атомную единицу массы — ≈931,494 МэВ/а.е.м.

Примеры взаимопревращения энергии покоя и кинетической энергии

Энергия покоя способна переходить в кинетическую энергию частиц в результате ядерных и химических реакций, если в них масса вещества, вступившего в реакцию, больше массы вещества, получившегося в результате. Примерами таких реакций являются:

Аннигиляция пары частица-античастица с образованием двух фотонов. Например, при аннигиляции электрона и позитрона образуется два гамма-кванта, и энергия покоя пары полностью переходит в энергию фотонов:

e−+e+→2γ.{\displaystyle e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma .}

Термоядерная реакция синтеза атома гелия из протонов и электронов, в которой разность масс гелия и протонов преобразуется в кинетическую энергию гелия и энергию электронных нейтрино

2e−+4p+→24He+2νe+Ekin.{\displaystyle 2e^{-}+4p^{+}\rightarrow {}_{2}^{4}\mathrm {He} +2\nu _{e}+E_{\mathrm {kin} }.}

Реакция деления ядра урана-235 при столкновении с медленным нейтроном. При этом ядро делится на два осколка с меньшей суммарной массой с испусканием двух или трёх нейтронов и освобождением энергии порядка 200 МэВ, что составляет порядка 1 процента от массы атома урана. Пример такой реакции:

92235U+1n→3693Kr+56140Ba+3 1n.{\displaystyle {}_{92}^{235}\mathrm {U} +{}_{0}^{1}n\rightarrow {}_{36}^{93}\mathrm {Kr} +{}_{56}^{140}\mathrm {Ba} +3~{}_{0}^{1}n.}

Реакция горения метана:

CH4+2O2→CO2+2H2O.{\displaystyle \mathrm {CH} _{4}+2\mathrm {O} _{2}\rightarrow \mathrm {CO} _{2}+2\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} .}

В этой реакции выделяется порядка 35,6 МДж тепловой энергии на кубический метр метана, что составляет порядка 10−10 от его энергии покоя. Таким образом, в химических реакциях преобразование энергии покоя в кинетическую энергию значительно ниже, чем в ядерных. На практике этим вкладом в изменение массы прореагировавших веществ в большинстве случаев можно пренебречь, так как оно обычно лежит вне пределов возможности измерений.

В практических применениях превращение энергии покоя в энергию излучения редко происходит со стопроцентной эффективностью. Теоретически совершенным превращением было бы столкновение материи с антиматерией, однако в большинстве случаев вместо излучения возникают побочные продукты и вследствие этого только очень малое количество энергии покоя превращается в энергию излучения.

Существуют также обратные процессы, увеличивающие энергию покоя, а следовательно и массу. Например, при нагревании тела увеличивается его внутренняя энергия, в результате чего возрастает масса тела. Другой пример — столкновение частиц. В подобных реакциях могут рождаться новые частицы, массы которых существенно больше, чем у исходных. «Источником» массы таких частиц является кинетическая энергия столкновения.

Энергия и импульс фотона

Современное представление о частице электромагнитного поля — фотоне, как и формула E = mc2, которую мы собираемся доказать, принадлежит Эйнштейну и было высказано им в том же 1905 году, в котором он доказал эквивалентность массы и энергии. Согласно Эйнштейну, электромагнитные и, в частности, световые волны состоят из отдельных частиц — фотонов. Если рассматривается свет некоторой определенной частоты ω, то каждый фотон имеет энергию E, пропорциональную этой частоте:

\(~E = \hbar \omega .\)

Коэффициент пропорциональности \(~\hbar\) называется постоянной Планка. По порядку величины постоянная Планка равна 10-34, размерность ее Дж·с. Мы здесь не выписываем точного значения постоянной Планка, оно нам не понадобится.

Иногда вместо слова «фотон» говорят «квант электромагнитного поля».

Фотон имеет не только энергию, но и импульс, равный

\(~p = \frac{\hbar \omega}{c} = \frac Ec .\)

Этих сведений нам будет достаточно для дальнейшего.

Условие малости скоростей

Мы будем предполагать, что тело массой m, с которым мы будем иметь дело, либо покоится (и тогда, очевидно, скорость его равна нулю), либо, если оно движется, то со скоростью υ, малой по сравнению со скоростью света с. Иными словами, мы будем предполагать, что отношение \(~\frac{\upsilon}{c}\) скорости тела к скорости света есть величина малая по сравнению с единицей. Однако мы будем считать отношение \(~\frac{\upsilon}{c}\) хотя и малой, но не пренебрежимо малой величиной — будем учитывать величины, пропорциональные первой степени отношения \(~\frac{\upsilon}{c}\), но будем пренебрегать вторыми и более высокими степенями этого отношения. Например, если при выводе нам придется иметь дело с выражением \(~1 — \frac{\upsilon^2}{c^2}\), мы будем пренебрегать величиной \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) по сравнению с единицей:

\(~1 — \frac{\upsilon^2}{c^2} = 1, \ \frac{\upsilon^2}{c^2} \ll \frac{\upsilon}{c} \ll 1. \qquad (2)\)

В этом приближении получаются соотношения, которые на первый взгляд могут показаться странными, хотя ничего странного в них нет, надо только помнить, что соотношения эти не являются точными равенствами, а справедливы с точностью до величины \(~\frac{\upsilon}{c}\) включительно, величинами же порядка \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) мы пренебрегаем. В таком предположении справедливо, например, следующее приближенное равенство:

\(~\frac{1}{1 — \frac{\upsilon}{c}} = 1 + \frac{\upsilon}{c}, \ \frac{\upsilon^2}{c^2} \ll 1. \qquad (3)\)

Действительно, умножим обе части этого приближенного равенства на \(~1 — \frac{\upsilon}{c}\). Мы получим

\(~1 = 1 — \frac{\upsilon^2}{c^2},\)

т.е. приближенное равенство (2). Поскольку мы считаем, что величина \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) пренебрежимо мала в сравнении с единицей, мы видим, что в приближении \(~\frac{\upsilon^2}{c^2} \ll 1\) равенство (3) справедливо.

Аналогично, нетрудно доказать в том же приближении равенство

\(~\frac{1}{1 + \frac{\upsilon}{c}} = 1 — \frac{\upsilon}{c}. \qquad (4)\)

Чем меньше величина \(~\frac{\upsilon}{c}\), тем точнее эти приближенные равенства.

Мы не случайно будем использовать приближение малых скоростей. Нередко приходится слышать и читать, что теория относительности должна применяться в случае больших скоростей, когда отношение скорости тела к скорости света имеет порядок единицы, при малых же скоростях применима механика Ньютона. На самом деле теория относительности не сводится к механике Ньютона даже в случае сколь угодно малых скоростей. Мы это увидим, доказав соотношение E = mc2 для покоящегося или очень медленно движущегося тела. Механика Ньютона такого соотношения дать не может.

Оговорив малость скоростей по сравнению со скоростью света, перейдем к изложению некоторых сведений, которые понадобятся нам при выводе формулы E = mc2.

Важнейшие выводы из уравнения

Из уравнения Эйнштейна следуют 3 важнейших следствия:

1. Массы в покое имеют присущую им энергию. Это важный вывод для понимания того, как устроена Вселенная. Согласно ему, гравитация, которая существует между любыми двумя массами во Вселенной, работает на основе энергии, эквивалентной массе через формулу Эйнштейна.
2. Масса может быть преобразована в чистую энергию. Уравнение помогает точно рассчитать, сколько энергии будет получено в процессе преобразования массы. Примером может служить процесс ядерной реакции: в ходе реакции получается, что начальная масса больше конечной. Разницей в количестве масс как раз является высвобожденная энергия. Количество уменьшающейся массы в данном примере становится энергией, которая рассчитывается по формуле E\;=\;mc².
3. Энергию можно использовать для того чтобы сделать массу из ничего. Именно этим занимаются ученые, которые в Большом адронном коллайдере в CERN ищут новые, высокоэнергетические частицы, создавая их из чистой энергии. Получаемая масса частиц исходит из имеющейся энергии, рассчитываемой по формуле Эйнштейна.

Вывод формулы E = mc2

Рассмотрим покоящееся тело массой m. Предположим, что это тело одновременно излучает два фотона в прямо противоположных направлениях. Оба фотона имеют одинаковые частоты ω и, значит, одинаковые энергии E=ℏω, а также равные по величине и противоположные по направлению импульсы. В результате излучения тело теряет энергию

ΔE=2ℏω.(9)

Потеря импульса равна нулю, и, следовательно, тело после излучения двух квантов остается в покое.

Этот мысленный опыт представлен на рисунке 1. Тело изображено кружком, а фотоны — волнистыми линиями. Один из фотонов излучается в положительном направлении оси x, другой — в отрицательном. Около волнистых линий приведены значения энергии и импульса соответствующих фотонов. Видно, что сумма излученных импульсов равна нулю.

Рассмотрим теперь ту же картину с точки зрения наблюдателя, который движется по оси x влево (т.е. в отрицательном направлении оси x) с малой скоростью υ. Такой наблюдатель увидит уже не покоящееся тело, а тело, движущееся с малой скоростью вправо. Величина этой скорости равна υ, а направлена скорость в положительном направлении оси x. Тогда частота, излучаемая вправо, будет определяться формулой (7) для случая излучения вперед:

ω′=ω(1+υc).

Мы частоту фотона, излучаемого движущимся телом вперед по направлению движения, обозначили через ω’, чтобы не спутать эту частоту с частотой ω излучаемого фотона в той системе координат, где тело покоится. Соответственно, частота фотона, излучаемого движущимся телом влево, определяется формулой (8) для случая излучения назад:

ω′′=ω(1−υc).

Чтобы не перепутать излучение вперед и излучение назад, мы будем величины, относящиеся к излучению назад, обозначать двумя штрихами.

Поскольку, из-за эффекта Доплера, частоты излучения вперед и назад различны, энергия и импульс у излученных квантов также будут различаться. Квант, излученный вперед, будет иметь энергию

E′=ℏω′=ℏω(1+υc)

и импульс

p′=ℏω′c=ℏωc(1+υc).

Квант, излученный назад, будет иметь энергию

E′′=ℏω′′=ℏω(1−υc)

и импульс

p′′=ℏω′′c=ℏωc(1−υc).

При этом импульсы квантов направлены в противоположные стороны.

Картина процесса излучения, каким его видит движущийся наблюдатель, изображена на рисунке 2.

Важно здесь подчеркнуть, что на рисунках 1 и 2 изображен один и тот же процесс, но с точки зрения разных наблюдателей. Первый рисунок относится к случаю, когда наблюдатель покоится относительно излучающего тела, а второй — когда наблюдатель движется

Подсчитаем баланс энергии и импульса для второго случая. Потеря энергии в системе координат, где излучатель имеет скорость υ, равна

ΔE′=E′+E′′=ℏω(1+υc)+ℏω(1−υc)=2ℏω=ΔE,

т.е. она такая же, как и в системе, где излучатель покоится (см. формулу (9)). Но потеря импульса в системе, где излучатель движется, не равна нулю, в отличие от системы покоя:

Δp′=p′−p′′=ℏωc(1+υc)−ℏωc(11υc)=2ℏωcυc=ΔEc2υ.(10)

Движущийся излучатель теряет импульс ΔEυc2 и, следовательно, должен, казалось бы, тормозиться, уменьшать свою скорость. Но в системе покоя излучение симметрично, излучатель не меняет скорости. Значит, скорость излучателя не может измениться и в той системе, где он движется. А если скорость тела не меняется, то как оно может потерять импульс?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как записывается импульс тела массой m:

p=mυ

— импульс равен произведению массы тела на его скорость. Если скорость тела не меняется , то его импульс может измениться только за счет изменения массы:

Δp=Δmυ

Здесь Δp — изменение импульса тела при неизменной скорости, Δm — изменение его массы.

Это выражение для потери импульса надо приравнять к выражению (10), которое связывает потерю импульса с потерей энергии. Мы получим формулу

ΔEc2υ=Δmυ,

или

ΔE=Δmc2,

которая означает, что изменение энергии тела влечет за собой пропорциональное изменение его массы. Отсюда легко получить соотношение между полной массой тела и полным запасом энергии:

E=mc2.

Открытие этой формулы явилось огромным шагом вперед в понимании природных явлений. Само по себе осознание эквивалентности массы и энергии есть великое достижение. Но полученная формула, помимо того, имеет широчайшее поле применения. Распад и слияние атомных ядер, рождение и распад частиц, превращения элементарных частиц одна в другую и множество других явлений требуют для своего объяснения учета формулы связи между массой и энергией.